Une scène de concert comporte un arc permettant de placer des projecteurs à différents points de cet arc.

Le projecteur A se trouve à la position formant un angle de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l’horizontale.
À quelle hauteur se situent les projecteurs A et C dans la scène ?

Quatre villes sont situées aux quatre sommets d'un carré de côté 100 km. On se propose de les relier par un réseau d'autoroutes de longueur minimale.
A, B, C et D sont les quatre sommets du carré. E et F sont les points de jonction des autoroutes.
On désigne par $\alpha$ une mesure en radians de l'angle $\widehat{ABE}$ et par $f(\alpha)$ la longueur totale du réseau.

1. Justifier que $EF=100-100\tan(\alpha)$.

2. En déduire que $f(\alpha)=100+\dfrac{200}{\cos(\alpha)}-100\tan(\alpha)$, avec $0\le \alpha \le \dfrac{\pi}{4}$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$.

4. En déduire la longueur totale minimale du réseau et la valeur de $\alpha$ qui permet d'obtenir ce minimum.

Lors de l'étude d'un choc de marteau sur une enclume munie d'un système d'amortisseurs, on est amené à considérer la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t)=\dfrac{507}{10}\cos(5\pi t)-\dfrac{13}{5}\sin(5\pi t)$, où $t$ correspond au temps mesuré en secondes.

1. 1. Montrer que pour tout réel positif $t$, $f\left(t+\dfrac{2}{5}\right)=f(t)$.

   2. En déduire que $f$ est périodique d'une période $T$ à détailler et expliquer comment interpréter concrètement cette périodicité au niveau du marteau.

Les moments où le marteau est immobile par rapport à l'enclume correspondent aux instants $t$ tels que $f(t)=0$.

2. Montrer que résoudre l'équation $f(t)=0$ revient à résoudre l'équation $\tan(5\pi t)=\dfrac{39}{2}$.

3. Montrer que si $T$ est une solution de l'équation $f(t)=0$, alors $T+\dfrac{1}{5}$ est aussi une solution de l'équation $f(t)=0$.

4. Montrer qu'il est possible d'écrire à la main une solution exacte de $f(t)=0$ à l'aide d'une des fonctions vues dans ce chapitre.

5. En déduire à la main toutes les solutions exacte de l'équation $f(t)=0$ sur l'intervalle $[0;1]$.

6. Trouver toutes ces solutions sur Xcas.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=\arctan(t^2)$.
   Calculer (à la main si possible) $f'(t)$.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=\arctan\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)$.
   Calculer sur Xcas la forme simplifiée de $g'(t)$.

3. On considère la fonction $s$ définie sur $\mathbb{R}$ par $s(t)=f(t)+g(t)$.
   Justifier que pour tout réel $t$ : $s'(t)=0$.

4. Calculer $s(0)$.

5. En déduire que pour tout réel $t$, $s(t)=\dfrac{\pi}{4}$.

6. En déduire que pour tout réel $t$, $\arctan\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)=\dfrac{\pi}{4}-\arctan(t^2)$.

7. En déduire en remplaçant $t$ par $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, montrer qu'il existe deux entiers $m$ et $n$ tels que $\dfrac{\pi}{4}=\arctan\left(\dfrac{1}{m}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{n}\right)$.

   Cette égalité a été trouvée (d'une autre manière) et publiée par Euler en 1737 mais déjà connue par Machin en 1706.
   Machin a utilisée une formule proche, $16\arctan\left(\dfrac{1}{5}\right)-4\arctan\left(\dfrac{1}{239}\right)=\pi$, pour calculer à la main les 100 premières décimales du nombre $\pi$ : un record pour l'époque !
   Ce type de formule a été utilisée pour obtenir les premières décimales de $\pi$.
   Par exemple, en 2002, le record de décimales connues de $\pi$ fut battu pour atteindre 1241,1 milliards. L'outil informatique et les deux égalités suivantes furent utilisées :

   • $\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

   • $\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

   source wikipedia

Le circuit ci-contre a une transmittance isochrone dont l'argument est défini pour toute pulsation $\omega$ par $\phi(\omega)=-\arctan(RC\omega)$, avec $R>0$ et $C>0$.

Déterminer comment évolue cet argument lorsque le pulsation augmente sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d'une maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer l'eau de pluie pour la déverser dans un troisième tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
On donne ci-dessous le plan de cette façade $ABCD$, dont les dimensions sont exprimées en mètres. Les deux premiers tuyaux sont représentés par $[AM]$ et $[BM]$, le troisième tuyau par $[MH]$. $H$ est le milieu du segment $[DC]$.

On souhaite trouver la position du point $M$ sur la façade qui permet de minimiser la longueur des tuyaux à acheter et donc la dépense à effectuer. On note $\theta$ l'angle $\widehat{BAM}$.

1. Calculer la longueur $MA$ en fonction de $\theta$.

   Travailler dans le triangle $AMN$ où $N$ est le milieu du segment $[AB]$.

2. Justifier que $MH=6-5\tan(\theta)$.

3. En déduire que $MA+MB+MH=6+\dfrac{10-5\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$.

4. Déterminer la valeur de $\theta$ qui minimise la longueur des tuyaux ainsi que la longueur nécessaire de ces tuyaux.

$\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$.
$[CD]$ est un diamètre de $\mathcal{C}$ et $A$ est un point de $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{AOD}=\theta$ avec $\theta \in ]0;\pi[$.
$B$ est le point de $\mathcal{C}$ tel que la corde $[AB]$ est perpendiculaire à $(CD)$ en un point $I$.

1. Exprimer les longueurs $AI$ et $OI$ en fonction de l'angle $\theta$ et de la longueur $r$.

2. En déduire que l'aire $S(\theta)$ du triangle $ACB$ est donné par $S(\theta)=r^2(1+\cos(\theta))\times \sin(\theta)$.

3. On admet que l'on peut écrire la dérivée de $S$ sous la forme $S'(\theta)=r^2(\cos(\theta)+1)(2\cos(\theta)-1)$.
   Déterminer l'angle $\theta$ qui permet de maximiser l'aire $S(\theta)$.

4. Quelle est la nature du triangle $ACB$ d'aire maximale ? Exprimer cette aire en fonction de $r$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$ par $f(t)=\arctan(t)+\arctan\left(\dfrac{1}{t}\right)$.

1. 1. Calculer, à la main si possible, $\displaystyle \left( \arctan\left(\dfrac{1}{t}\right)\right)^{'}$.

   2. En déduire l'expression simplifiée de $f'(t)$.

   3. Qu'en déduire pour la fonction $f$ ?

2. 1. Calculer $f(1)$.

   2. En déduire une égalité liant $\arctan(t)$ et $\arctan\left(\dfrac{1}{t}\right)$, lorsque $t>0$.

   3. Vérifier cette égalité sur Xcas.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par $f(t)=\arctan\left(\dfrac{t}{t+1}\right)+\arctan\left(\dfrac{t}{t-1}\right)+\arctan(2 t^2)$.

1. 1. Calculer, à la main si possible, la dérivée de $t\mapsto \arctan(2 t^2)$.

   2. Déterminer, à l'aide de Xcas, sur l'intervalle $]1;+\infty[$, l'expression de $f'(t)$.

   3. Qu'en déduire pour $f$ ?

2. 1. Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \arctan(2 t^2)$.

   2. Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \arctan\left(\dfrac{t}{t+1}\right)$.

   3. Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \arctan\left(\dfrac{t}{t-1}\right)$.

   4. En déduire que pour réel $t\gt 1$, on a : $\arctan\left(\dfrac{t}{t+1}\right)+\arctan\left(\dfrac{t}{t-1}\right)+\arctan(2 t^2)=\pi$.

   5. Justifier que $\arctan\left(\dfrac{2}{3}\right)+\arctan\left(2\right)+\arctan(8)=\pi$.

Un filtre à avance de phase a une fonction de transfert isochrone dont un argument est donné par la fonction suivante : $\theta(\omega)=\arctan\left(\dfrac{3\omega}{4+\omega ^2}\right)$ avec $\omega \in [0;+\infty[$.

1. Calculer $\theta(0)$.

2. Calculer la limite lorsque $\omega$ tend vers $+\infty$ de $\theta(\omega)$.

3. Dresser le tableau de variation complet (c'est-à-dire avec les limites) de $\theta$ sur $[0;+\infty[$.

4. En déduire la valeur de $\omega$ qui maximise l’argument $\theta(\omega)$ et donner la valeur maximale de $\theta$.